KALKULUS
SISTEM BILANGAN PERTIDAK SAMAAN BILANGAN RIIL
Sifat-Sifat Pertidaksamaan
tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama
Jika a < b maka:
a + c < b + c
a – c < b – c
tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama
Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:
a.c < b.c
a/b < b/c
tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama
Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:
a.c > b.c
a/c > b/c
tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan
Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a2 < b2
Pertidaksamaan Linear
→ Variabelnya berpangkat 1
Penyelesaian:
Suku-suku yang mengandung variabel dikumpulkan di ruas kiri, dan konstanta diletakkan di ruas kanan
Contoh:
Pertidaksamaan Kuadrat
→ Variabelnya berpangkat 2
Penyelesaian:
Ruas kanan dibuat menjadi nol
Faktorkan
Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama dengan nol
Gambar garis bilangannya
Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam •
Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih °
Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.
Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda
Tentukan himpunan penyelesaian
→ jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (+)
→ jika tanda pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (–)
(2x – 1)2 ≥ (5x – 3).(x – 1) – 7
4x2 – 4x + 1 ≥ 5x2 – 5x – 3x + 3 – 7
4x2 – 4x + 1 – 5x2 + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0
–x2 + 4x + 5 ≥ 0
–(x2 – 4x – 5) ≥ 0
–(x – 5).(x + 1) ≥ 0
Harga nol: x – 5 = 0 atau x + 1 = 0
x = 5 atau x = –1
2 X - 2 X < 2 + 16
0 X < 18
X = > 18/0
X = > 18
HP (18,0)
1. 1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak di bawah ini:
|5x+10|≥20
Untuk menjawab soal di atas, kita gunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak:
Jika a>0 dan |x|≥a maka x≥a atau x≤-a
Sehingga bisa kita tulis:
5x+10≥20 5x≥10 x≥2 5x+10≤-20 5x≤-30 x≤-6
Maka himpunan penyelesaiannya adalah:
x≥2 atau x≤-6
2. 2. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak di bawah ini:
|5x+10|≤20
Untuk menjawab soal di atas, kita gunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak:
Jika a>0 dan |x|≤a maka -a≤x≤a
Sehingga penyelesaiannya adalah:
-20≤5x+10≤20 -30≤5x≤10 -6≤x≤2
CARA MENGGAMBAR GARIS BILANGAN
Sebagai contoh, kita akan menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2 – 4x + 3 < 0 dengan menggunakan metode garis bilangan. Langkah-langkah yang perlu kalian lakukan adalah sebagai berikut.
Langkah 1:
Tentukanlah nilai-nilai nol (apabila ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan kuadrat. Caranya adalah dengan menggunakan metode pemfaktoran yaitu sebagai berikut.
⇔ x2 – 4x + 3 = 0
⇔ (x – 1)(x – 3) = 0
⇔ x = 1 atau x = 3
Langkah 2:
Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh pada langkah #1 dalam bentuk diagram garis bilangan. Dan perlu kalian perhatikan, bahwa nilai-nilai nol tersebut membagi garis menjadi 3 interval (selang), yaitu x < 1, 1 < x < 3 dan x > 3 seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Langkah 3:
Setelah berhasil menggambarkan diagram garis bilangan, langkah selanjutnya adalah menentukan tanda-tanda interval yang diperoleh pada langkah #2 dengan cara mengambil nilai uji yang berada dalam masing-masing interval. Dalam contoh ini, kita ambil nilai uji x = 0 (berada dalam interval x < 1), x = 2 (berada dalam interval 1 < x < 3) dan x = 4 (berada dalam interval x > 3). Hasilnya dapat kalian lihat pada tabel di bawah ini.
Tabel Hasil Uji Interval
Nilai Uji | Nilai x2 – 4x + 3 | Tanda Interval |
x = 0 | (0)2 – 4(0) + 3 = +3 | + atau > 0 |
x = 2 | (2)2 – 4(2) + 3 = −1 | − atau < 0 |
x = 4 | (4)2 – 4(4) + 3 = +3 | + atau > 0 |
Berdasarkan hasil perhitungan pada tabel di atas, tanda-tanda interval dituliskan pada interval-interval yang sesuai. Perhatikan gambar diagram garis bilangan berikut ini.
Ingat tanda + berarti nilainya > 0 sedangkan tanda – berarti nilainya < 0.
Langkah 4:
Berdasarkan tanda-tanda interval dalam gambar diagram garis bilangan pada langkah 3, maka interval yang memenuhi pertidaksamaan x2 – 4x + 3 < 0 adalah 1 < x < 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat x2 – 4x + 3 < 0 dapat kita tuliskan sebagai berikut.
HP = {x | 1 < x < 3}
Perlu dicatat bahwa tanda-tanda interval pada gambar langkah #3 dapat juga digunakan untuk menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini.
a. x2 – 4x + 3 ≤ 0
Himpunan penyelesaiannya adalah HP = { x | 1 ≤ x ≤ 3}
b. x2 – 4x + 3 > 0
Himpunan penyelesaiannya adalah HP = { x | x < 1 atau x > 3}
c. x2 – 4x + 3 ≥ 0
Himpunan penyelesaiannya adalah HP = { x | x ≤ 1 atau x ≥ 3}
FUNGSI
FUNGSI ALJABAR
yaitu fungsi yang menggunakan operasi-operasi penjumlahan,pengurangan,perkalian,pembagian, dan penarikan akar.
Contoh:
a. Fungsi irasional,yaitu fungsi yang variable bebasnya terdapat dibawah tanda akar. Misal f(x)=√x ,g(x)= √x+1+3
b. Fungsi Rasional,yaitu fungsi yang variable bebasnya berpangkat bilangan bulat. Fungsi rasional meliputi fungsi:
c. Fungsi polinom berderajat n misalkan, f(x)=2x3+4x2+6x-5
d. Fungsi kubik, yaitu fungsi yang berpangkat 3. Misalkan F(x)=x3 adalah fungsi kubik yang paling sederhana.
e. Fungsi kuadrat, suatu fungsi yang berbentuk f(x)=ax2+bx+c,Dengan a,b,c konstanta dan a≠o. Dimana grafiknya berbetuk Parabola,domain fungsi ini adalah Df=R.
f. Fungsi linear,suatu fungsi yang ditentukan oleh f(x)=ax+b,Dengan a dan b konstanta dan a≠0. Kurva fungsi linear adalah Garis y=ax+b yang selalu melalui titik (0,b) dan (a/b,0).
g. Fungsi pangkat, dinyatakan dengan y=f(x)=xn, dengan n
Bilangan asli. Jika n=2→grafiknya berbentuk parabola
n=3→grafiknya berbebtuk parabola kubik
n=4→grafiknya parabola kuadrat
bentuk umum dari fungsi pangkat:y=f(x)=xn, y=f(x)=axn,
h. Fungsi pecahan,yaitu suatu hasil fungsi-fungsi polinom . Bentuk umum fungsi pecahan:f(x)=anxn+an-1xn-1+..+a1x+a0
bmxm+bm-1xm-1+..+b1x+b0 dengan an≠0;bmxm+bm-1xm-1+..+b1x+b0≠0;n Є bilangan asli.
FUNGSI TRANSENDEN
yaitu fungsi yang bukan merupakan fungsi aljabar.
Contoh:
a.Fungsi eksponen,fungsi yang variable bebasnya menjadi pangakat dari suatu
bilangan . Bentuk umum y=f(x)=ax, dengan a≠0,a≠1, dan a Є R.
b. Fungsi logaritma, dengan bilangan pokok a>0 dan a≠1 adalah invers dari fungsi
eksponen
dengan bilangan pokok a. Fungsi eksponen y=g(x)=ax, inversnya adalah fungsi
logaritma y=f(x)=alogx ; a>0 , a≠1, x>0.
c. Fungsi trigonometri,yaitu fungsi yang meliputi f9x)=sin x , f(x)=cos x ,f(x)=tan x
dimana x menyatakan besar suatu sudut (radian atau drajat).
d. Fungsi siklometri, yaitu invers dari fungsi trigonometri, seperti f(x)=arc sin x
f(x)=arc cos x, f(x)=arc tan x.
catatan: sin ½ dapat ditulis arc sin ½
e. Fungsi hiperbolik, yang meliputi:f(x)=sinh x=℮x - ℮-x , f(x)=cosh x=℮x - ℮-2 2
Catatan: ℮=2,71828
FUNGSI KHUSUS
Contoh:
a. Fungsi Konstan, Fungsi konstan adalah fungsi f yang dinyatakan dalam
rumus f(x) = c, dengan c suatu konstanta. Fungsi konstatn f memasangkan setiap
bilangan real dengan konstanta c.
b. Fungsi identitas, Fungsi I:A─>A yang ditentukan oleh I(x) disebut fungsi identitas
pada A.Fungsi I memasangkan setiap elemen daerah asal dengan dirinya sendiri.
contoh: garis y=x yang melalui titik pangkal O(o,o)
c. Fungsi modulus, fungsi f:x─>│x│ atau f(x) yang ditentukan oleh:
f(x)=│x│= x,jika x ≥ 0
-x,jika x <0
Contoh: modulus y =│x│
d. Fungsi parameter, fungsi dengan parameter diantaranya adalah x=at+b,
y=t2 +c, dengan t adalah parameter yang menetapkan fungsi itu.
FUNGSI GENAP dan GANJIL
a. Fungsi genap, jika f(-x)=f(x), maka grafik tersebut simetri terhadap sumbu y .
Fungsi yang demikian disebut fungsi genap.
b. Fungsi ganjil, jika f(-x)=f(-x), maka grafik tersebut simetri terhadap titik asal
O(0,0). Fungsi yang demikian disebut fungsi ganjil.
c. Bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil, jika f(-x)≠f(x) dan f(-x)≠f(-x), maka
grafiknya tidak simetri terhadap titik asal.
FUNGSI PERIODIK
fungsi f dengan domain R dikatakan fungsi periodik apabila
Terdapat bilangan k≠0, sehinga f (x+k)=f(x), dengan x Є R. Bilangan positif k terkecil
Yang memenuhi f(x+k)=f(x) disebut periode dasar fungsi itu.
LIMIT KONTINU
Dari contoh di atas, diperoleh beberapa kenyataan. Nilai limit ada tetapi nilai fungsi tidak ada (tidak terdefinisi), nilai fungsi ada tetapi nilai limit tidak ada, nilai limit dan nilai fungsi keduanya ada tetapi nilai limit tidak sama dengan nilai fungsi, nilai limit ada dan nilai fungsi keduanya ada serta nilai limit sama dengan nilai fungsi. Berdasarkan fenomena tersebut, berikut diberikan definisi fungsi kontinu.
LIMIT DISKONTINU
LIMIT BENTUK TAK TENTU
Pada limit fungsi trigonometri, telah dipelajari bahwa :
Perhatikan bentuk limit ini untuk x→0, limit pembilang dan limit penyebutnya nol. Bentuk demikian dinamakan bentuk tak tentu 0/0. Kita mengenal tujuh macam bentuk tak tentu limit fungsi, yaitu :
Pada bab ini kita hanya membahas empat bentuk yang pertama saja. Bentuk tak tentu lainnya melibatkan fungsi berpangkat fungsi, penyelesaiannya memerlukan konsep logaritma natural dan teorema L’Hospital. Permasalahan ini akan kita bahas pada penggunaan fungsi transenden dalam perhitungan limit fungsi.
1. Bentuk tak tentu 0/0
Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya, dan sebagainya.
2. Bentuk tak tentu ∞/∞ :
Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat digunakan adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan bentuk 1/x pangkat n, n bilangan asli, dan sebagainya.
3. Bentuk tak tentu 0.∞ :
4. Bentuk Tak Tentu ∞ – ∞ :
TURUNAN RANTAI
Fungsi komposisi (composition function) dapat diartikan sebagai penggabungan dua jenis fungsi f(x)f(x) dan g(x)g(x) sehingga menghasilkan suatu fungsi baru. Sebagai contoh, fungsi f(x)=sinxf(x)=sinx dan g(x)=x2g(x)=x2 dapat digabung menjadi suatu fungsi baru yakni f(g(x))=sinx2f(g(x))=sinx2.
Untuk mencari turunan (derivative) dari komposisi fungsi, kita dapat menggunakan aturan rantai (chain rule). Misalkan, anda diminta untuk mencari turunan dari fungsi berikut
Untuk mencari turunan fungsi ini tanpa menggunakan aturan rantai, pertama anda harus mengalikan bersama ke 60 faktor-faktor kuadrat 2x2−4x+12x2−4x+1 dan kemudian mendiferensialkan polinom derajat 120 yang dihasilkan. Bayangkan betapa sulitnya mencari turunan untuk fungsi tersebut.
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Implisit adalah fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel yakni variabel bebas dan variabel tak bebas, yang berada dalam satu ruas dan tidak bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda.
Menurunkan fungsi implisit, tak jauh beda dengan menurunkan fungsi variabel tunggal, yakni dengan menggunakan notasi Leibniz (dy/dx). Berikut ini, hal yang harus dipahami dalam menurunkan fungsi implisit khususnya yang memiliki dua variabel (x dan y).
DIFERENSIAL TURUNAN
Diferensial – Turunan fungsi atau yang biasa disebut dengan diferensial adalah fungsi lain dari sebuah fungsi yang sebelumnya, contohnya fungsi F menjadi F’ yang mempunyai nilai yang tidak beraturan. Turunan atau diferensial digunakan sebagai alat untuk menyelesaikan beragam masalah di dalam geometri dan mekanika
Konsep turunan sebagai bahan utama dari kalkulus yang dipikirkan bersama, pada saat yang bersamaan oleh Isaac Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman.
Teori diferensial adalah jenis teori yang membahas tentang adanya perubahan variabel yang terikat akibat dari perubahan variabel bebasnya. Yang dimana perubahan variabel bebas tersebut tergolong ke dalam perubahan yang sangat kecil.
Turunan Matematika adalah :
Misalnya Y adalah fungsi dari X atau Y = F (x). turunan atau diferensial dari Y terhadap X.
Rumus Diferensial
Rumus 1 :
Jika y = cxn dengan c dan n konstanta real
maka dy/dx = cn xn-1
contoh :
y = 2×4 maka dy/dx = 4.2×4-1 = 8×3
Rumus 2 :
Jika y = f(x) + g(x)
maka turunannya sama dengan turunan dari masing-masing fungsi = f'(x) + g'(x)
contoh:
y = x3 + 2×2 maka y’ = 3×2 + 4x
y = 2×5 + 6 maka y’ = 10×4 + 0 = 10×4
Rumus 3 :
Jika y = c dengan c adalah konstanta
maka dy/dx = 0
contoh:
jika y = 6 maka turunannya yaitu sama dengan nol
Rumus 4 :
Turunan Perkalian Fungsi Jika y f(x).g(x)
maka y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)
contoh:
y = x2 (x2+2) maka
f(x) = x2
f'(x) = 2x
g(x) = x2+2
g'(x) = 2x
Kemudian masukkan ke rumus y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)
y’ = 2x (x2+2) + 2x . x2
y’ = 4×3 + 4x (jawaban ini juga bisa diperoleh dengan cara mengalikan terlebih dahulu lalu menggunakan rumus 2)
Rumus 5 :
ef (x) maka dy/dx = ef(x).f'(x)
contoh :
y = e2x+1
f (x) = 2x+1
f’ (x) = 2
maka f’ = e2x+1 . 2 = 2e2x+1
Rumus 6 :
Turunan Trigonometri Sin
Jika punya y = sin f(x)
maka turunannya yaitu y’ = cos f(x) . f'(x)
contoh :
y = sin(x2 + 1)
maka y’ = cos (x2 +1) . 2x = 2x. cos (x2 +1)
Rumus 7 :
Turunan Trigonometri Cos
Jika punya y = cos f(x)
maka turunanya adalah y’ = -sin f(x). f'(x)
contoh :
y = cos (2x+1)
maka turunannya y’ = -sin (2x+1) . 2 = -2 sin (2x+1)
Rumus Turunan Kedua
rumus turunan kedua sama dengan turunan dari turunan pertama .
Turunan kedua diperoleh dengan cara menurunkan turunan pertama.
Contoh :
Turunan kedua dari x3 + 4×2
turunan pertama = 3×2 + 8x
turunan kedua = 6x + 8
Contoh Soal
Persamaan garis singgung pada kurva y = 2×3-5×2-x+6 yang berabsis 1 ialah …
Penyelesaian :
y = 2×3 – 5×2 – x + 6 → x = 1
y’ = 6×2 – 10x – 1
y (1) = 2(1)3- 5(1)2 – 1 + 6
= 2 – 5 – 1 + 6
= 2 → ( 1 , 2 )
y’ = m = 6×2 – 10x – 1
= 6(1)2 – 10.1 – 1
= -5
Persamaan garis siggung : y – b = m (x – 1)
y – 2 = -5 (x – 1)
y – 2 = -5x + 1
5x + y +3 = 0
Jawaban : 5x + y + 3 = 0
APLIKASI TURUNAN NILAI MAKSIMUM DAN NILAI MINIMUM
Menurut Differential Equations (2006) oleh Hari Kishan, solusi dari persamaan turunan adalah hubungan fungsional antara variabel yang terlibat, yang memenuhi persamaan tersebut. Salah satu aplikasi dari konsep turunan adalah menentukan titik maksimum atau minimum suatu fungsi.
Suatu fungsi akan mencapai optimal (maksimum atau minimum) jika gradiennya sama dengan nol (m = 0). Karena gradien sama dengan turunan pertama dari fungsi tersebut maka turunan pertama dari fungsi sama dengan nol (f'(x) = 0).
Titik tersebut dinyatakan dengan titik stasioner. Beberapa sifat dari turunan pertama dan kedua suatu fungsi pada x1 dapat kita nyatakan sebagai berikut: f'(x1) = 0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik stasioner (kritis). f'(x1) = 0 dan f''(x1)>0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik minimum. f'(x1) = 0 dan f''(x1)<0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik maksimum. f''(x1) = 0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik belok.
TITIK STASIONER
Dalam ilmu matematika (khususnya dalam bidang kalkulus), titik stasioner atau titik kritis suatu fungsi yang dapat diturunkan adalah suatu titik di dalam grafik dengan turunan kurva pertama yang sama dengan nol. Dalam kata lain, titik stasioner merupakan titik di mana fungsi "berhenti" naik atau turun.
CONTOH 2
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi f(x)=x2−4xf(x)=x2−4x
Jawab :
f '(x) = 2x − 4
f(x) stasioner ⇒ f '(x) = 0
⇔ 2x − 4 = 0
⇔ 2x = 4
⇔ x = 2
Jadi, nilai stasioner dicapai pada saat x = 2
Nilai stasioner : f(2) = (2)2 − 4(2) = −4
Titik stasioner : (2, −4)
CONTOH 2
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi f(x)=x3−3x+1f(x)=x3−3x+1
Jawab :
f '(x) = 3x2 − 3
f(x) stasioner ⇒ f '(x) = 0
⇔ 3x2 − 3 = 0
⇔ x2 − 1 = 0
⇔ (x + 1)(x − 1 ) = 0
⇔ x = −1 atau x = 1
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 1 = 3
Nilai stasioner pada x = 1 :
f(1) = (1)3 − 3(1) + 1 = −1
Titik stasioner : (−1, 3) dan (1, −1)
Nilai-nilai stasioner sering juga disebut sebagai bakal calon nilai ektrim. Ada 2 jenis ektrim fungsi, yaitu nilai balik maksimum dan nilai balik minimum. Nilai balik maksimum/minimum sering juga disebut dengan nilai maksimum/minimum relatif atau maksimum/minimum lokal.
Komentar
Posting Komentar