MATRIK

NAMA: NAFIZA SHEILA FARADILA

NIM:202031060

MATRIKS

PENGERTIAN MATRIK

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun secara baris atau kolom atau kedua-duanya dan di dalam suatu tanda kurung. Bilangan-bilangan yang membentuk suatu matriks disebut sebagai elemen-elemen matriks. Matriks digunakan untuk menyederhanakan penyampaian data, sehingga mudah untuk diolah.
Istilah-istilah :
Lambang matrik digunakan huruf besar, A, B, C
Elemen matrik digunakan lambang huruf kecil, a. b , c …
Bagian mendatar disebut baris
Bagian tegak disebut kolom
Indeks-I menyatkan baris, indeks-j menyatakan kolom
Jumlah baris=m, jumlah kolom=n
Ukuran matrik disebut ordo
Matrik dengan jumlah baris=m, jumlah kolom=n diebut dengan ukuran (mxn) atau matrik berordo (mxn)
contoh :

JENIS JENIS MATRIK

MATRIK BUJUR SANGKAR

A dikatakan matrik bujur sangkar jika jumlah baris dan jumlah kolom A sama. Matrik A dikatakan berordo n

Matrik A berordo 4, elemen-elemen diagonal utama A adalah 0, 0, 0, 0

Matrik Segitiga Atas

A dikatakan matrik segitiga atas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen dibawah diagonal utama 0

Elemen-elemen diagonal utama : 3, 9, -7, 2, 8
Elemen-elemen dibawah diagonal utama 0, maka A matrik segitiga atas

Matrik Segitiga Bawah

A dikatakan matrik segitiga atas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen diatas diagonal utama 0

Elemen-elemen diagonal utama : 1, 4, 7, 2, 8
Elemen-elemen diatas diagonal utama 0, maka A matrik segitiga bawah

Matrik Diagonal = D

A dikatakan matrik diagonal, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen selain diagonal utama 0, dan elemen diagonal utama tak nol. Matrik demikian diberi lambang D.

Matrik Identitas = I

A dikatakan matrik identitas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen selain diagonal utama 0, dan elemen diagonal utama 1. Matrik identitas diberi lambang I.

Transpose Matrik= A^T

Transpose matrik A ditulis A^Tadalah sebuah matrik yang diperoleh dari A dimana baris A^T adalah kolam A, dan kolom A^T adalah baris A. Bila A berukuran (mxn), A^T berukuran (nxm)

contoh :

Matrik Simetris, A=A^T

A dikatakan matrik simetris, bilamana A adalah matrik bujur sangkar dimana, A^T=

Matriks Baris

Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

Contoh : A = ( 1 3 4 9)

Matriks Nol

Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo ,ditulis dengan huruf O.

Matriks Kolom

Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom

Matriks Skalar

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama.

Matriks Mendatar

Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom .

Matriks Skew Simetris

Matriks Skew Simetris (Anti Simetri), yaitu suatu matriks persegi yang apabila ditransposkan akan sama dengan negatif dari matriks semula. Misalkan A adalah matriks persegi. Matriks A dikatakan skew simetris jika dan hanya jika AT=−A. Syarat lainnya yaitu semua elemen yang berada di diagonal utama bernilai nol.

Matriks Tegak

Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

OPERASI ARITMATIK MATRIK (1)

(1) Kesamaan, A=B

Matrik, A=[a_ij] dan B=[b_ij] dikatakan sama ditulis A=B jika hanya jika

(1) A dan B berukuran sama

(2) Setiap elemen yang seletak nilainya sama, a_ij = a_ij;

Contoh :

A dan B berukuran sama (2x3), tetapi A¹B, karena terdapat elemen seletak nilainya tidak sama

(2) Perkalian dengan skalar, kA

Perkalian matrik, A=[a_ij] dengan skalar tak nol k ditulis kA, didefinisikan bahwa setiap elemen A dikalikan dengan konstanta tak nol k, yakni :

kA=k[a_ij]= [ka_ij]

OPERASI ARITMATIK MATRIK (2)

(3) Penjumlahan, A+B

(1) Matrik, A=[a_ij] dan B=[b_ij] dikatakan dapat dijumlahkan ditulis A+B bilamana A dan B berukuran sama.

(2) Bilamana, A+B=C, maka elemen matrik C diberikan,

c_ij = a_ij + b_ij

(elemen yang seletak dijumlahkan)

CONTOH

Sifat Penjumlahan Matrik

Misalkan terdapat matriks A,B,C dan matriks nol O sedemikian rupa sehingga berlaku :

A+B=B+A

A+(B+C)=(A+B)+C

A+O=O+A=A

A+(−A)=−A+A=O

Sifat Perkalian Matrik

Misalkan terdapat matriks A,B,C, matriks nol O, matriks identitas I dan m,n sembarang bilangan bulat yang sedemikian rupa sehingga berlaku :

OPERASI ARITMATIK MATRIK (3)

(4) Perkalian Matrik, AB=C

(1) Matrik, A=[a_ij](m=n) dan B=[b_ij](pxq) dikatakan dapat dikalikan ditulis AB bilamana jumlah kolom A dan jumlah baris B sama [n=p].

(2) Bilamana, AB=C, maka matrik C=[c_ij](mxq) dimana elemen c_ij diberikan oleh :

Sifat Penjumlahan Matrik

Misalkan terdapat matriks A,B,C dan matriks nol O sedemikian rupa sehingga berlaku :

A+B=B+A

A+(B+C)=(A+B)+C

A+O=O+A=A

A+(−A)=−A+A=O

Sifat Perkalian Matrik

Misalkan terdapat matriks A,B,C, matriks nol O, matriks identitas I dan m,n sembarang bilangan bulat yang sedemikian rupa sehingga berlaku :

OPERASI ARITMATIK MATRIK (3)

(4) Perkalian Matrik, AB=C

(1) Matrik, A=[a_ij](m=n) dan B=[b_ij](pxq) dikatakan dapat dikalikan ditulis AB bilamana jumlah kolom A dan jumlah baris B sama [n=p].

(2) Bilamana, AB=C, maka matrik C=[c_ij](mxq) dimana elemen c_ij diberikan oleh :

DETERMINAN MATRIKS

Fungsi determinan matrik bujur sangkar A dinyatakan dengan det(A)=|A|, didefinisikan sebagai jumlahan hasil kali elementer elemen-elemen bertanda A

Kasus n=1

A=[a], det(A) =|a| = a

Kasus, n=3, Metode Sarrus

METODE EKSPANSI LAPLACE

Andaikan, A=[a_ij] (nxn) adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn).

(1). Minor elemen matrik A baris ke-i dan kolom ke-j (a-ij) ditulis M_ij didefinisikan sebagai determinan matrik berordo (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan cara menghilangkan baris ke-I dan kolom ke-j

(2). Kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j ditulis C-ij didefinisikan sebagai :

M₃₂ determinan matrik berordo (3x3) baris ke-3 dan kolom ke-2 dari matrik A dihilangka

Andaikan, A=[a_ij] (nxn) adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn), dan C_ij = (-1)^i+j M_ij adalah kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j.

CONTOH :

MATRIKS METODE CHIO.

Perhatikan untuk matrik dengan ordo $3 \times 3$ . Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.

$det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} \end{vmatrix}$

Selanjutnya untuk matrik dengan ordo $4 \times 4$ . Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.

$det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{4-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{31} & a_{34} \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{41} & a_{42} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{41} & a_{43} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{41} & a_{44} \end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}$

Apabila ukuran matriksnya diperluas atau diperumum menjadi $n \times n$ , maka diperoleh persamaan untuk metode CHIO adalah sebagai berikut.

$det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{n-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{21} & a_{2n} \end{vmatrix}\\ &&&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{31} & a_{3n} \end{vmatrix}\\ &&&\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{n1} & a_{n2} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{n1} & a_{n3} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{n1} & a_{nn} \end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}$

contoh soal:

carilah determinan dari matriks berikut dengan metode chio

jawab:

MATRIKS METODE CROUT.

Langkah-langkah yang harus dilakukan pada Metode Reduksi Crout adalah :

- Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memasukkan ke-empat persamaan diatas ke dalam Matriks, dimana Matriksnya ber-orde 4x4.

- Sehingga didapatlah nilai X₁ = 2, X₂ = -2, X₃ = 3, dan X₄ = -1.

Dengan menggunakan Metode Reduksi Crout kita langsung mendapatkan nilai X₁, X₂, X₃ dan X₄ nya dengan memasukkan rumus yang didapat dari persamaan Matriks A = [L].[U].

MATRIKS METODE DOOLITLE

Metode Doolittle berkebalikan dengan metode crout. Untuk L = segitiga bawah, dan untuk U = segitiga atas.

• Rumus umum untuk mencari L dan U dengan Metode Doolittle :

• Dengan ordo 3x3 :

Rumus perhitungannya:

Komentar

INVERS MATRIKS METODE ADJOINT

Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku $A \cdot B = B \cdot A = I$ maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis $A^{-1}$ . Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba perhatikan berikut ini.
Jika $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ dengan $ad - bc \neq 0$ , maka invers dari matriks A (ditulis $A^{-1}$ ) adalah sebagai berikut:

$A^{-1} = \frac {1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

Jika $ad - bc = 0$ maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.

Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:

$(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$
$(B \cdot A)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}$
$(A^{-1})^t =(A^{t})^{-1}$

Contoh: Diketahui A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

dan B =

Selidiki, apakah A dan B saling invers?

Penyelesaian :

Matriks A dan B saling invers jika berlaku A × B = B × A = I.

A × B =

B × A =

Karena A × B = B × A maka A dan B saling invers, dengan A–1 = B dan B–1 = A.

Menentukan Invers Matriks Berordo 2 × 2

Misalkan diketahui matriks A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

, dengan ad – bc ≠ 0.

Suatu matriks lain, misalnya B dikatakan sebagai invers matriks A jika AB = I. Matriks invers dari A ditulis A–1 . Dengan demikian, berlaku :

AA–1 = A–1A = I

Matriks A mempunyai invers jika A adalah matriks nonsingular, yaitu det A ≠ 0. Sebaliknya, jika A matriks singular (det A = 0) maka matriks ini tidak memiliki invers.

Misalkan matriks A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

dan matriks B = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

sehingga berlaku A × B = B × A = I. Kita akan mencari elemen-elemen matriks B, yaitu p, q, r, dan s.

Dari persamaan A × B = I, diperoleh :

Jadi, diperoleh sistem persamaan :

ap + br = 1 dan aq + bs = 0

cp + dr = 0 cq + ds = 1

Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, kalian peroleh :

Dengan demikian,

Matriks B memenuhi A × B = I.

Sekarang, akan kita buktikan apakah matriks B × A = I?

Karena ad – bc ≠ 0, berlaku B × A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

= I

Karena A × B = B × A = I maka B = A–1.

Jadi, jika A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

maka inversnya adalah :

untuk ad – bc ≠ 0.

Contoh Soal 18 :

Tentukan invers matriks-matriks berikut.

a. A =

b. B =

Jawaban:

Menentukan Invers Matriks Berordo 3 × 3

Invers matriks berordo 3 × 3 dapat dicari dengan beberapa cara. Pada pembahasan kali ini kita akan menggunakan cara adjoin dan transformasi baris elementer.

a. Dengan Adjoin

Pada subbab sebelumnya, telah dijelaskan mengenai determinan matriks. Selanjutnya, adjoin A dinotasikan adj (A), yaitu transpose dari matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor-kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu :

adj(A) = (kof(A))T

Adjoin A dirumuskan sebagai berikut.

Invers matriks persegi berordo 3 × 3 dirumuskan sebagai berikut.

Adapun bukti tentang rumus ini akan kalian pelajari lebih mendalam dijenjang pendidikan yang lebih tinggi.

Contoh Soal 19 :

Diketahui matriks A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

. Tentukan invers matriks A, misalnya kita gunakan perhitungan menurut baris pertama.

Jawaban :

Terlebih dahulu kita hitung determinan A.

det A =

= 1(1) – 2(2) + 1(1) = –2

Dengan menggunakan rumus adjoin A, diperoleh :

adj(A) =

Jadi, A–1 dapat dihitung sebagai berikut.

Bentuk $AI->IA^{-1}$ Sunting

A =

{\begin{bmatrix}1&5&5\\-1&-1&0\\2&4&3\\\end{bmatrix}}

Tentukan Nilai dari A−1

Diawali dengan

\left[{\begin{array}{rrr|rrr}1&5&5&1&0&0\\-1&-1&0&0&1&0\\2&4&3&0&0&1\\\end{array}}\right]

Operasikan Matriks tersebut

\left[{\begin{array}{rrr|rrr}1&5&5&1&0&0\\0&4&5&1&1&0\\2&4&3&0&0&1\\\end{array}}\right]

B2 + B1

\left[{\begin{array}{rrr|rrr}1&5&5&1&0&0\\0&4&5&1&1&0\\0&-6&-7&-2&0&1\\\end{array}}\right]

B3 - 2.B1

\left[{\begin{array}{rrr|rrr}1&5&5&1&0&0\\0&4&5&1&1&0\\0&0&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{2}}&1\\\end{array}}\right]

B3 + 3/2.B1

\left[{\begin{array}{rrr|rrr}1&5&5&1&0&0\\0&1&{\frac {5}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&0\\0&0&1&-1&3&2\\\end{array}}\right]

1/4.B2, 2.B3

\left[{\begin{array}{rrr|rrr}1&5&5&1&0&0\\0&1&0&{\frac {3}{2}}&-{\frac {7}{2}}&-{\frac {5}{2}}\\0&0&1&-1&3&2\\\end{array}}\right]

B2 - 5/4.B3

\left[{\begin{array}{rrr|rrr}1&5&0&6&-15&-10\\0&1&0&{\frac {3}{2}}&-{\frac {7}{2}}&-{\frac {5}{2}}\\0&0&1&-1&3&2\\\end{array}}\right]

B1 - 5.B3

\left[{\begin{array}{rrr|rrr}1&0&0&-{\frac {3}{2}}&{\frac {5}{2}}&{\frac {5}{2}}\\0&1&0&{\frac {3}{2}}&-{\frac {7}{2}}&-{\frac {5}{2}}\\0&0&1&-1&3&2\\\end{array}}\right]

B1 - 5.B2

A^{-1}={\begin{bmatrix}-{\frac {3}{2}}&{\frac {5}{2}}&{\frac {5}{2}}\\{\frac {3}{2}}&-{\frac {7}{2}}&-{\frac {5}{2}}\\-1&3&2\\\end{bmatrix}}

OPERASI ELEMENTER BARIS

Untuk menentukan invers matriks An dengan cara transformasi baris elementer, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut berikut.

1) Bentuklah matriks (An | In), dengan In adalah matriks identitas ordo n.

2) Transformasikan matriks (An | In) ke bentuk (In | Bn), dengan transformasi elemen baris.

3) Hasil dari Langkah 2, diperoleh invers matriks An adalah Bn.
4) Tukarkan 1 baris dengan baris lainnya
5) Letakkan satu baris dengan bilangan bukan nol.
6) Jumlahkan kelipatan suatu baris dengan baris lainnya
* untuk mencari b1 >> pecahan dari angka pertama
* untuk mencari b2,b3 >> lawan dari angka(misalkan positif (+) menjadi negatif (-)

Notasi yang sering digunakan dalam transformasi baris elementer adalah :

a) Bi ↔ Bj : menukar elemen-elemen baris ke-i dengan elemen-elemen baris ke-j;

b) k.Bi : mengalikan elemen-elemen baris ke-i dengan skalar k;

c) Bi + kBj : jumlahkan elemen-elemen baris ke-i dengan k kali elemen-elemen baris ke-j.

Contoh Soal 20 :

Tentukan invers matriks A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

dengan transformasi baris elementer.

Penyelesaian :

Jadi, diperoleh A–1 = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Keterangan :

1/2 B1 : Kalikan elemen-elemen baris ke-1 dengan 1/2.

B2 – 5B1 : Kurangkan baris ke-2 dengan 5 kali elemen-elemen baris ke-1.

B1 – B2 : Kurangi elemen-elemen baris ke-1 dengan elemen-elemen baris ke-2.

2B2 : Kalikan elemen-elemen baris ke-2 dengan 2.

Contoh Soal 21 :

dengan transformasi baris elementer.

Jawaban :

Terdapat tiga tipe Operasi Baris Elementer (OBE) dan beberapa sifat determinan matriks. Namun, hanya satu tipe OBE dan dua sifat determinan yang digunakan untuk menghitung determinan matriks.

Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka

det(A)

adalah hasil kali elemen diagonal utama matriks tersebut.

Contoh Soal:

A =

{\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&4\\3&2&1\\\end{bmatrix}}

tentukan determinan A dengan metode OBE!

Jawab:

{\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-3&-8\\0&-4&-8\\\end{bmatrix}}

B2-4B1, B3-3B1

{\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-3&-8\\0&0&8/3\\\end{bmatrix}}

B3-4/3B2

Det(A) = 1x(-3)x(8/3) = -8

PERKALIAN INVERS MATRIKS ELEMENTER

Hasil gambar untuk rumus perkalian matriks elementer

Contoh Soal :

Tentukan invers matriks A = $+\begin{bmatrix}+1+&+1&+0\\+2+&+3&+2\\+2+&+1&+3+\end{bmatrix}$ dengan transformasi baris elementer.

Jawaban :

PARTISI MATRIKS

Matriks partisi adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang ukurannya lebih kecil dengan memasukan garis horizontal dan vertikal antara baris dan kolom matriks.

Matriks-matriks yang ukurannya kecil hasil partisi matriks disebut sub matriks.

Partisi matriks digunakan untuk menyederhanakan matriks yang ukurannya besar menjadi matriks kecil sehingga lebih mudah dioperasikan untuk tujuan tertentu.

Setiap sub matriks hasil partisi selalu dapat dikembalikan ke dalam matriks asalnya.

Latihan 5.2 (perkalian partisi)

Diberikan

Solusi :

Jadikan Z1 menjadi matriks (m + n ) x (p + q) dan Z2 matriks (p +q) x (r + s) , sehingga A1 merupakan aturan m × p dan A2 merupakan aturan p × r. Kemudian semua submatriks didefinisikan dengan baik. Dengan aturan perkalian matriks biasa kita mempunyai

METODE CREAMER

jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
$X_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)}, X_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)}, ... , X_{n} = \frac{det(A_{n})} {det(A)}$

dimana A _j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom _j dengan matrik b

Contoh soal: Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini

x₁ + 2x₃ = 6

-3x₁ + 4x₂ + 6x₃ = 30

-x₁ - 2x₂ + 3x₃ = 8

Jawab: bentuk matrik A dan b

A = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ -3 & 4 & 6\\ -1 & -2 & 3\\ \end{bmatrix}$ b = $\begin{bmatrix} 6\\ 30\\ 8\\ \end{bmatrix}$

kemudian ganti kolom _j dengan matrik b

A₁ = $\begin{bmatrix} 6 & 0 & 2\\ 30 & 4 & 6\\ 8 & -2 & 3\\ \end{bmatrix}$ A₂ = $\begin{bmatrix} 1 & 6 & 2\\ -3 & 30 & 6\\ -1 & 8 & 3\\ \end{bmatrix}$ A₃ = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 6\\ -3 & 4 & 30\\ -1 & -2 & 8\\ \end{bmatrix}$

dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas

maka,

$x_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)} = \frac{-40} {44} = \frac{-10} {11}$

$x_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)} = \frac{72} {44} = \frac{18} {11}$

$x_{3} = \frac{det(A_{3})} {det(A)} = \frac{152} {44} = \frac{38} {11}$

R=E_r...E₂ E₁ A

dan,

det(R)=det(E_r)...det(E₂)det(E₁)det(E_A)

Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.

Contoh Soal :

A= $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1\\ 2 & 4 & 6\\ \end{bmatrix}$

karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

A. DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Nilai Eigen () adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara vektor Eigen () adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri. Definisi tersebut berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real dan akan mengalami pergeseran ketika elemen berupa bilangan kompleks. Untuk setiap nilai Eigen ada pasangan vektor Eigen yang berbeda, namun tidak semua persamaan matriks memiliki nilai Eigen dan vektor Eigen. Nilai Eigen dan vektor Eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, di mana keduanya dapat diterapkan dalam bidang Matematika murni dan Matematika terapan seperti transformasi linear.
Kumpulan pasangan nilai dan vektor Eigen dari suatu matriks berukuran n x n disebut sistem Eigen dari matriks tersebut. Ruang Eigen dari merupakan kumpulan vektor Eigen yang berpasangan dengan yang digabungkan dengan vektor nol. Istilah Eigen seringkali diganti dengan istilah karakteristik, di mana kata ‘’’Eigen’’’ yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti ‘’asli’’ dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat.

Contoh Soal :

Cari Blog Ini

Nafizasfa

MATRIK

MATRIKS METODE CHIO.

MATRIKS METODE CROUT.

Komentar

Bentuk $AI->IA^{-1}$ Sunting

METODE CREAMER

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

MATRIK

MATRIKS METODE CHIO.

MATRIKS METODE CROUT.

Komentar

Bentuk Sunting

METODE CREAMER

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Bentuk $AI->IA^{-1}$ Sunting